Algoritmos Matemáticos para calcular números primos - Teste de primitividade de Miller-Rabin

Teste de primitividade de Miller-Rabin

O teste Miller-Rabin (por Gary Miller e Michael O. Rabin) é um teste probabilístico da primitividade de um dado número n. Se um número n não passar pelo teste, n com certeza é um número composto (ou seja, não-primo). Se o número passar no teste, ele é primo, com uma probabilidade , sendo que denomina o conjunto de todos números primos. A margem de erro pode ser diminuída aleatoriamente, aplicando-se o teste várias vezes ao mesmo número n.

O teste é parecido com o o teste Solovay-Strassen, portanto sua margem de erro é bem menor.

A importância desse algoritmo se deve à criptografia asimétrica, onde a necessidade de uma grande quantidade de números primos grandes é vital para a segurânça dos algoritmos. Tais números são tão grandes que testes não probabilisticos como o da simples divisão por números primos menores que o número gerado ou o tabelamento de todos os números primos são impraticáveis.

É importante dizer que o teste Miller-Rabin, ou Rabin-Miller como as vezes também é chamado, não dá indícios sobre a fatorização no número n. Devido suas caraterísticas, esse teste é o mais utilizado para o teste da primitividade.

Funcionamento

Seja n um número primo e a um número inteiro escolhido aleatoriamente, tal que 1 < a < p. Seja , s é o maior expoente, tal que .

Seja d = (n − 1) / 2^s. Por definição de s, d é, necessariamente ímpar.

Teorema: Se n é um número primo e a não tiver um divisor em comum com p, então ou, existe um , tal que Um número a que não satisfaz o teorema acima é denominado de testemunha contra a primitividade de n.